Les Toffees sont désireux d'ajouter l'international tchèque dans une décision qui le verrait retrouver l'ancien patron des Hammers, David Moyes.
Soucek a joué un rôle clé sous Moyes pendant le mandat de quatre ans du Scot au London Stadium, avec lourdement dans le triomphe de la Ligue de conférence de l'UEFA du club en 2023.
Moyes a initialement signé le milieu de terrain imposant en prêt de Slavia Prague avant de conclure un accord permanent en 2020.
Everton a montré pour la première fois un intérêt pour Soucek plus tôt cet été avec le boss de West Ham Graham Potter ouvert à un départ à condition qu'il puisse décrocher ses cibles de milieu de terrain.
Cependant, cela s'est avéré difficile pour Potter et West Ham, ce qui signifie que les services de Soucek sont plus que jamais nécessaires.
Le joueur de 30 ans, qui a encore deux ans, a permis de percer neuf fois pour les Hammers la saison dernière.
Et Potter espère qu'il pourra quitter la marque pour son côté timide après leur difficile début de saison.
West Ham a été battu de manière retentissante dans ses deux premiers matches de la saison, marquant une seule fois dans les défaites contre Sunderland et Chelsea et concédant huit fois.
Potter pourrait perdre Lucas Paqueta avant la fin de la fenêtre de transfert, le Brésilien attirant l'intérêt de plusieurs clubs, dont Aston Villa.
Tous les fonds récupérés pour Paqueta pourraient distribuer des moyens de renforcer davantage son équipe, mais le temps est épuisé pour apporter des renforts.
West Ham a placé une offre pour le milieu de terrain de Southampton, Mateus Fernandes, tandis que les rapports en France affirment qu'un accord est en place pour la star de Monaco, 21 ans, Soungoutou Magassa.
Pendant ce temps, la pression continue de monter sur Potter qui n'a remporté que cinq de ses 20 matchs de championnat en charge de West Ham.
Potter emmène ses partis à Nottingham Forest dimanche en sachant une victoire ou un point sur le tableau est à tout le moins impératif de passer à la pause internationale.
L’ex-boss de Chelsea a été critiqué des sections du soutien de West Ham et de la défaite 5-1 de vendredi à domicile contre ses anciens employeurs n’a pas fait grand-chose pour apaiser les boo-boys.
Interrogé sur le mécontentement entourant le stade londonien, Potter a déclaré après la défaite: C'est une soirée difficile pour nous et je ressens pour les supporters.
Ils en veulent plus et nous les avons laissés tomber aujourd'hui.
«Nous les avons laissés tomber parce que les objectifs que nous avons donnés étaient trop bon marché. Donc, je ne peux rien dire qui va faire ce sentiment mieux pour le moment.
Ils feront mal et c'est douloureux, donc c'est juste un cas de nous devons faire mieux et nous devons travailler plus dur.
